在考研复试中，常微分方程是一个重要的考点。以下是一些常微分方程的常见问题及其解答：
指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并阐明理由
问题：判断并说明理由。
答案：
$t^2frac{du}{dt} + tfrac{du}{dt} + （t^2 - 1）u = 0$：二阶线性方程，因为未知函数u的最高阶导数为2，且方程中u的各阶导数都是一次的。
$dxdy = x^2 + y^2$：一阶非线性方程，因为y是未知函数，且y的最高阶导数为1，而$y^2$是二次的。
$dxdy + 2xy = 0$：一阶非线性方程，因为y是未知函数，且y的最高阶导数为1，而$y^2$是二次的。
求曲线族$y = C_1e^x + C_2xe^x$所满足的微分方程
答案：$y'' - 4y = 0$。可以通过求导验证：
$y' = e^x + C_2e^x + C_2xe^x$
$y'' = 2e^x + C_2e^x + C_2e^x + C_2xe^x = 2e^x + 2C_2e^x + C_2xe^x$
代入得：$y'' - 4y = 2e^x + 2C_2e^x + C_2xe^x - 4（C_1e^x + C_2xe^x） = 2e^x - 4C_1e^x$，由于$C_1$是常数，可以合并得$y'' - 4y = 0$。
验证函数$y = C_1e^{x^2} + C_2e^{2x}$是微分方程$y'' - 4y = 0$的解，并进一步验证它是通解
答案：
求导得：
$y' = 2C_1xe^{x^2} + 4C_2e^{2x}$
$y'' = 2C_1（2xe^{x^2} + e^{x^2}） + 8C_2e^{2x} = 4C_1xe^{x^2} + 2C_1e^{x^2} + 8C_2e^{2x}$
代入微分方程$y'' - 4y = 0$：
$4C_1xe^{x^2} + 2C_1e^{x^2} + 8C_2e^{2x} - 4（C_1e^{x^2} + C_2e^{2x}） = 4C_1xe^{x^2} + 2C_1e^{x^2} + 8C_2e^{2x} - 4C_1e^{x^2} - 4C_2e^{2x} = 0$
因此，$y = C_1e^{x^2} + C_2e^{2x}$是微分方程$y'' - 4y = 0$的解，且由于包含两个任意常数$C_1$和$C_2$，它是通解。
求解下列方程的通解
问题：给出多个微分方程，要求求解它们的通解。
答案：
$y' = sin x$：通解为$y = -cos x + C$，其中$C$为任意常数。
$x^2y'' + 2xy' + 1 = y$：通解形式较为复杂，可以通过变量代换或降阶法求解。
$dxdy = e^{2x-y}$：可以通过积分因子法或变量代换法求解。
其他方程可以通过类似的方法求解，具体过程略。
叙述齐次函数的定义
答案：齐次