利用定积分求极限的方法可以分为以下几步：
明确定积分的定义
定积分的定义包括“分割—近似—求和—取极限”四个步骤。在考研中，常见的是区间[0,1]上的定积分。
选择合适的方法
直接法：如果和式极限可以直接转换为定积分，则可以直接应用定积分的计算方法（如牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法等）。
夹逼定理：如果和式极限不能直接转换为定积分，可以通过夹逼准则进行求解。首先对和式进行适当放缩，得到两个新的和式，然后求解这两个新的和式的极限，最终将这两个和式极限转化为定积分。
构造适当的函数
利用逆向思维，构造一个适当的函数 （ f（x） ），使欲求的和式极限问题转化为 （ [0,1] ） 区间上的函数 （ f（x） ） 的定积分问题。例如，将欲求极限的和式中的因子 （ frac{1}{n} ） 作为 （ [0,1] ） 区间的一个分割的小区间长度，其余因子转化为函数 （ f（x） ） 在小区间 （ left[ frac{i-1}{n}, frac{i}{n} right] ） 上某点 （ xi_i ） 处的值。
计算定积分
一旦将和式极限问题转化为定积分问题，就可以使用定积分的计算方法来求解。例如，使用牛顿-莱布尼兹公式或换元积分法。
示例
设 （ f（x） = x^2 ），求 （ lim_{{n to infty}} sum_{{i=1}}^{n} fleft（frac{i}{n}right） frac{1}{n} ） 的极限。
构造函数
（ f（x） = x^2 ）
（ frac{1}{n} = Delta x ）
（ frac{i}{n} = x_i ）
转化为定积分
（ lim_{{n to infty}} sum_{{i=1}}^{n} fleft（frac{i}{n}right） frac{1}{n} = lim_{{n to infty}} sum_{{i=1}}^{n} left（frac{i}{n}right）^2 frac{1}{n} = int_{0}^{1} x^2 , dx ）
计算定积分
（ int_{0}^{1} x^2 , dx = left[ frac{x^3}{3} right]_{0}^{1} = frac{1}{3} ）
因此，所求极限为 （ frac{1}{3} ）。
总结
利用定积分求和式极限的关键在于将和式极限问题转化为定积分问题，然后使用定积分的计算方法求解。通过构造适当的函数和进行适当的放缩，可以有效地解决这类问题。