球体密度与重心位置
设有一半径为 （ R ） 的球体，表面上的一个定点 （ P ），球体上任一点的密度与该点到 （ P ） 距离的平方成正比（比例常数 （ k > 0 ），求球体的重心位置。
三角形的重心问题
已知 （ D ）、（ E ）、（ F ） 分别为 （ ABC ） 三边的中点，求 （ ABC ） 和 （ DEF ） 的面积之比。
在等腰三角形 （ ABC ） 中，若 （ AB = AC = 10 ），（ BC = 12 ），求重心 （ G ） 到底边 （ BC ） 的距离。
若过重心 （ G ） 作 （ GD perp BC ），且 （ GD = 5 ），则 （ BC ） 边上的高是多少。
球体挖去小球的剩余部分重心
在一个半径为 （ R ） 的均匀球体中挖出一个小球体，此空腔面与原球面相切并过原来的球心，求剩余部分的重心位置。
重心与线段中点及平行线的关系
点 （ G ） 是 （ ABC ） 的重心，延长 （ AG ） 交 （ BC ） 于点 （ D ），若 （ GE parallel AB ），（ GF parallel AC ），求证 （ GD ） 是 （ GEF ） 的 （ EF ） 边上的中线。
点 （ G ） 是 （ ABC ） 的重心，若 （ GH parallel AC ），交 （ BC ） 于点 （ H ），若 （ GH = 2 ），则 （ AC ） 的长是多少。
重心与相似三角形
点 （ G ） 是等边 （ ABC ） 的重心，过点 （ G ） 作 （ DE parallel BC ），点 （ M ） 在 （ BC ） 边上，若以 （ B ）、（ D ）、（ M ） 为顶点的三角形与以 （ C ）、（ E ）、（ M ） 为顶点的三角形相似（但不全等），求 （ SBDM : SCEM ）。
这些例题涵盖了不同类型的几何问题，包括球体、三角形及其重心，以及重心与线段、平行线和相似三角形的关系。通过解决这些问题，可以加深对重心概念及其在几何中的应用的理解。