考研培训机构的审批通常需要经过以下步骤和部门：
提交资质证明：
申请考研培训机构需要提交相关资质证明，并通过教育部门的审核。
向区、县（市）教育行政部门申请：
设立校外培训机构由各区、县（市）教育行政部门审批。
注册审批：
教育类社会培训机构由所在区县教委注册审批，其他类型由工商部门审批。
办理办学许可证、民办非企业单位登记证、营业执照：
办理教育培训机构需要去当地教育局、民政局和市场监管局，准备好相关材料后依次申请。
向教育行政部门提出申请筹办的报告：
教育机构不需要办理营业执照，应该到教育部门办理许可。
审批机关验证和核查：
申请正式设立的报告需要经过审批机关的验证和核查。
获得办学许可证：
审批完毕后，教育部门会做出批准或不批准的批复，批准设立的机构将获得办学许可证。
综上所述，考研培训机构的审批主要涉及教育部门和工商部门。具体审批流程和所需材料可能因地区而异，建议您向所在地的区、县（市）教育局进行详细咨询，以获取最准确的信息和指导。