在考研数学中，对曲线进行凹凸性分析和拐点的判断是非常重要的，这通常涉及对函数的一阶导数和二阶导数的分析。以下是分析曲线凹凸性和拐点的基本步骤和技巧：
凹凸性判断
定义：若在某区间内，函数的二阶导数恒大于0，则该区间内曲线是凹的；若二阶导数恒小于0，则曲线是凸的。
计算方法：计算函数在该区间内的二阶导数，并判断其符号。
拐点判断
定义：拐点是曲线凹凸性发生改变的点，即二阶导数在该点处变号（由正变负或由负变正）。
计算方法：
首先找出函数的一阶导数和二阶导数。
求出二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点。
判断这些点附近二阶导数的符号变化，若存在符号改变，则该点为拐点。
典型题型分析
利用参数方程求极值和凹凸区间
通过参数方程，可以求出函数的一阶导数和二阶导数。
根据一阶导数的零点确定极值点。
根据二阶导数的符号变化确定凹凸区间和拐点。
利用单调性判断
若函数在某一区间的二阶导数恒正或恒负，则该区间内曲线是凹的或凸的。
若在某点处二阶导数由正变负或由负变正，则该点为拐点。
示例
例1
设函数由参数方程确定，求极值和曲线的凹凸区间及拐点。
通过计算一阶导数和二阶导数，确定极值点和拐点。
例2
直接给出拐点的坐标，通过分析二阶导数的符号变化验证。
例3
通过观察导数图形，判断极值点和拐点的数量。
总结
在考研数学中，对曲线进行凹凸性和拐点分析的关键在于熟练掌握二阶导数的计算和应用。通过一阶导数和二阶导数的符号变化，可以有效地判断曲线的凹凸性和拐点。同时，结合几何图形和函数的单调性，可以更直观地理解曲线的性质。
建议在实际解题过程中，多练习相关题型，加深对曲线凹凸性和拐点判断方法的理解和应用。