在考研数学中，特征值的计算是一个重要的知识点，通常出现在线性代数部分的考试中。以下是求矩阵特征值的一些基本方法和技巧：
特征值的定义
特征值是满足方程 `Ax = λx` 的非零向量 `x` 和标量 `λ`，其中 `A` 是给定的矩阵，`x` 是非零向量。
特征方程
特征值可以通过求解特征方程 `det（A - λI） = 0` 来找到，其中 `I` 是单位矩阵，`det` 表示行列式。
特殊矩阵的特征值
秩为1的矩阵：
如果矩阵 `A` 的秩为1，那么除了一个非零特征值（记为 `tr（A）`，即矩阵的迹，也就是对角线元素之和）外，其余特征值都为0。
三角矩阵：
三角矩阵的特征值就是对角线上的元素。
期望矩阵：
期望矩阵是通过保持非主对角线元素不变，修改对角线元素使矩阵的某一行与其他行成比例得到的矩阵。期望矩阵的特征值全为0，除了一个特征值等于原矩阵的迹。
特征值和特征向量的性质
如果矩阵 `A` 有二重特征值，则存在一个秩为1的矩阵 `B` 和一个标量 `k`，使得 `A = B + kI`，其中 `I` 是单位矩阵。这样就可以分别求出 `B` 和 `k` 的特征值，进而确定 `A` 的特征值。
避免高次多项式
在计算3阶及以下矩阵的特征值时，应避免使用可能导致高次多项式的计算方法，以简化计算过程。
特殊技巧
对于具有特殊结构的矩阵，如对称矩阵或可对角化的矩阵，可以利用其性质简化计算。
对于具有重复特征值的矩阵，可以通过寻找合适的 `k` 使得 `B + kI` 的特征值等于 `A` 的特征值。
掌握这些方法和技巧可以帮助考生在考研数学中更有效地解决特征值计算的问题。需要注意的是，这些方法适用于一般情况，对于更复杂的矩阵，可能需要结合多种技巧和策略。