全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它描述了一个多元函数在某一点附近的变化量。对于二元函数 （ y = f（x, y） ），在点 （（x_0, y_0）） 处可微，意味着存在一个线性函数 （ L（x, y） = A（x - x_0） + B（y - y_0） ），使得当 （（x, y） to （x_0, y_0）） 时，函数的增量 （Delta y = f（x, y） - f（x_0, y_0）） 可以近似表示为 （ L（x, y） + o（rho） ），其中 （rho = sqrt{（x - x_0）^2 + （y - y_0）^2} ） 是点 （（x, y）） 到点 （（x_0, y_0）） 的距离，（ o（rho） ） 是当 （ rho to 0 ） 时比 （ rho ） 高阶的无穷小。
全微分的形式为：
[ dy = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy ]
其中 （ frac{partial f}{partial x} ） 和 （ frac{partial f}{partial y} ） 分别是函数 （ f ） 关于 （ x ） 和 （ y ） 的偏导数。
例题解析
假设我们有一个二元函数 （ f（x, y） = x^2 y + y^3 ），我们需要求出该函数在点 （（1, 2） ） 处的全微分。
1. 首先求出偏导数：
[ frac{partial f}{partial x} = 2xy ]
[ frac{partial f}{partial y} = x^2 + 3y^2 ]
2. 将点 （（1, 2） ） 的坐标值代入偏导数中：
[ frac{partial f}{partial x}bigg|_{（1, 2）} = 2 cdot 1 cdot 2 = 4 ]
[ frac{partial f}{partial y}bigg|_{（1, 2）} = 1^2 + 3 cdot 2^2 = 1 + 12 = 13 ]
3. 根据全微分的定义，写出全微分：
[ dy = 4dx + 13dy ]
因此，函数 （ f（x, y） = x^2 y + y^3 ） 在点 （（1, 2） ） 处的全微分为 （ dy = 4dx + 13dy ）