在考研数学中，证明函数有界通常采用以下几种方法：
闭区间上连续函数的有界性
如果函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数在此区间上有界。这是由闭区间上连续函数的性质决定的。
开区间上函数的有界性
如果函数在开区间（a, b）上可积（即有限个第一类间断点），则该函数在此区间上有界。这可以通过计算法来证明，即切分区间后分别求极限，若左右极限都存在，则函数在该区间内有界。
利用三角函数的有界性
对于含有三角函数的函数，如f（x） = asin（bx + c） + d，可以利用三角函数的有界性（正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]）来推导f（x）的有界性。例如，asin（bx + c）的值域是[-a, a]，加上常数d后，f（x）的值域变为[d - a, d + a]，从而证明f（x）是有界的。
利用有界函数的运算性质
如果函数f（x）和g（x）都是有界的，则它们的和、差、积也是有界的。这一性质可以用于证明更复杂函数的有界性。
反证法
通过假设函数无界，并尝试找到一个矛盾，从而证明函数实际上是有界的。例如，可以假设对于任意正数M，总存在x使得|f（x）| > M，然后通过推导找到矛盾，从而得出函数有界的结论。
利用已知的有界函数
如果已知某些已知的有界函数，可以通过这些已知的有界函数来构造新的有界函数。例如，如果已知某个函数在某个区间上有界，并且该区间被包含在另一个函数的定义域内，则可以通过这些已知的有界函数来证明新函数的有界性。
在实际操作中，选择哪种方法取决于具体函数的形式和所给条件。通常，结合函数的结构和性质，选择最合适的方法来证明函数的有界性是至关重要的。