在考研数学中，证明方程的方法通常包括以下几个步骤：
掌握基本原理
零点存在定理：如果函数在区间的两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在该区间两端点连线的斜率。
泰勒公式：可以将函数在某一点的邻域内展开成多项式，利用多项式的性质进行证明。
极限存在的两个准则：单调有界数列必有极限，夹逼准则。
几何意义
通过几何图形可以帮助理解函数的性质，如单调性、极值点、零点等。例如，在证明中值定理时，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，从而直观地看到函数值的变化和零点的存在性。
构造辅助函数
通过构造辅助函数，将原问题转化为更容易证明的形式。例如，在证明某些方程根的存在性时，可以构造一个辅助函数，使其满足零点存在定理的条件，从而证明原方程的根的存在性。
利用已知定理和性质
在证明过程中，可以综合运用已知的定理和性质，如函数的单调性、极值、导数等，进行推导和证明。
注意逻辑推理
数学证明要求逻辑严密，每一步推理都要有充分的依据，确保结论的正确性。在证明过程中，要注意从前提到结论的推理过程，确保每一步都是合理的。
例：证明方程 $f（x） = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ 在区间 $（1, 2）$ 内至少有一个根。
验证零点存在定理
计算 $f（1）$ 和 $f（2）$ 的值：
$$
f（1） = 1^3 - 6 cdot 1^2 + 11 cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
$$
$$
f（2） = 2^3 - 6 cdot 2^2 + 11 cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0
$$
由于 $f（1） = f（2） = 0$，我们不能直接应用零点存在定理。但注意到 $f（x）$ 在 $（1, 2）$ 内连续且可导，我们可以尝试其他方法。
构造辅助函数
构造辅助函数 $F（x） = f（x） - x$，即：
$$
F（x） = x^3 - 6x^2 + 10x - 6
$$
计算 $F（x）$ 在区间端点的值：
$$
F（1） = 1^3 - 6 cdot 1^2 + 10 cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 10 - 6 = -1
$$
$$
F（2） = 2^3 - 6 cdot 2^2 + 10 cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 20 - 6 = -2
$$
由于 $F（1） < 0$ 且 $F（2） < 0$，我们需要进一步分析 $F（x）$ 在 $（1, 2）$ 内的性质。
利用导数分析单调性
计算 $F（x）$ 的导数：
$$
F'（x） = 3x^2 - 12x + 10
$$
解 $F'（x） = 0$：
$$
3x^2 - 12x + 10 = 0 implies x^2 - 4x + frac{10}{3} = 0 implies （x-1）（x-2.33） = 0
$$
由于 $x = 1$ 和 $x = 2.33$ 不在区间 $（1, 2）$ 内，$F（x）$ 在 $（1, 2）$ 内单调递减。
应用零点存在