考研培训机构的监管问题，根据现有信息，可以得出以下结论：
教育部门：
教育部门对考研辅导机构有监督管理权。教育部曾在2008年发布通知，要求对发布虚假招生简章（广告）等违规行为的考研辅导机构进行整改，并给予警告。此外，考研培训机构需要在当地教育厅（局）登记注册，取得政府教育部门颁发的民办学校办学资质证明，才能合法办学。
地方政府：
考研培训机构通常由注册地的区县政府进行具体管理。例如，北京市教委表示，考研班的管理属于其注册的区县，海淀区教委只负责资格审查，并不直接管理。
工商部门：
对于未在教育部门注册的考研培训机构，如某些科技类或职业技能类培训机构，可能由工商部门进行监督管理。
其他部门：
根据违规行为的严重程度，考研培训机构还可能面临司法部门的投诉和处理。此外，省级教育厅、公安厅和市场监督管理局也会联合加强对涉考培训机构的监督管理。
综上所述，考研培训机构的监管涉及多个部门，具体由当地教育行政部门、地方政府、工商部门或其他相关部门根据各自职责进行监督管理。建议学生在选择考研培训机构时，可以综合考虑其资质和口碑，并向相关部门咨询以获取更多信息。