考研中证明一个矩阵是正定的，可以采用以下几种方法：
正定矩阵的主成分表示法
将正定矩阵分解为 $UAUT$，其中 $U$ 是正交矩阵，$A$ 是对角矩阵，且 $U^TU = I$（单位矩阵）。
正定矩阵的共轨转置证明
证明 $A^TA > 0$，即 $A$ 的转置与 $A$ 的共轭转置相乘的结果必须大于0。
正定矩阵的主元分解证明
将 $A$ 分解为 $LU$ 形式，其中 $L$ 是下三角矩阵，$U$ 是上三角矩阵，利用唯一分解性来证明 $A$ 为正定矩阵。
正定矩阵的半正定性证明
证明 $A$ 的秩必须小于 $n$，并且 $A$ 的剩余半部分必须是正定的。
正定矩阵的特征值证明
如果正定矩阵 $A$ 的所有特征值均大于0，则矩阵 $A$ 必定是正定矩阵。可以使用形式化的证明说明特征值必须大于0，即 $det（A - lambda I） > 0$，其中 $lambda$ 为特征值，$I$ 为单位阵。
正定矩阵的行列式证明
首先将 $A$ 的行列式化，然后按公式 $det（A） = det（A_{11}）det（A_{22}） - det（A_{12}）det（A_{21}）$ 求值，其中 $A_{11}$ 为 $A$ 的一个子矩阵，$A_{22}$ 为 $A$ 的差矩阵，$A_{12}$ 和 $A_{21}$ 为 $A$ 的列替换矩阵，必须满足 $det（A） > 0$，则 $A$ 就是正定矩阵。
利用特征值都大于零来证明
判断矩阵是否为正定矩阵的一种方法是找出 $A$ 的所有特征值，如果特征值为正，则矩阵为正；如果特征值为负，则矩阵为负。
利用矩阵不等式来证明
正定矩阵的定义是对于任意非零向量 $X$，都有 $X^TAX > 0$，其中 $A$ 是 $n times n$ 的实对称非奇异矩阵。
这些方法都可以用来证明一个矩阵是正定的，具体选择哪种方法可以根据问题的具体情况而定。在考研中，建议选择最直观且易于理解的方法来进行证明。