施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中非常基本且重要的不等式，它在多个数学领域都有广泛应用。以下是针对考研的施瓦茨不等式证明：
方法一：利用Hölder's Inequality
Hölder's Inequality是施瓦茨不等式的一个特例，可以通过它来证明施瓦茨不等式。
假设：
设实数序列 ${a_i}$ 和 ${b_i}$ 满足 $sum_{i=1}^{n} a_i b_i$ 存在，且 $p, q > 1$ 且 $frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$。
不等式：
则有
$$
left（ sum_{i=1}^{n} a_i b_i right）^2 leq left（ sum_{i=1}^{n} a_i^p right） left（ sum_{i=1}^{n} b_i^q right）
$$
特殊情况：
当 $p = q = 2$ 时，上述不等式变为施瓦茨不等式：
$$
left（ sum_{i=1}^{n} a_i b_i right）^2 leq left（ sum_{i=1}^{n} a_i^2 right） left（ sum_{i=1}^{n} b_i^2 right）
$$
方法二：直接证明
定义：
设向量 $mathbf{a} = （a_1, a_2, ldots, a_n）$ 和 $mathbf{b} = （b_1, b_2, ldots, b_n）$。
内积：
它们的内积为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^{n} a_i b_i$。
模长：
向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的模长分别为 $|mathbf{a}| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$ 和 $|mathbf{b}| = sqrt{sum_{i=1}^{n} b_i^2}$。
不等式：
根据柯西-施瓦茨不等式，有
$$
|mathbf{a} cdot mathbf{b}| leq |mathbf{a}| |mathbf{b}|
$$
方法三：利用向量的性质
定义：
设向量 $mathbf{a} = （a_1, a_2, ldots, a_n）$ 和 $mathbf{b} = （b_1, b_2, ldots, b_n）$。
构造：
定义一个新的向量 $mathbf{c} = mathbf{a} - lambda mathbf{b}$，其中 $lambda$ 是一个常数。
模长平方：
计算 $mathbf{c}$ 的模长平方：
$$
|mathbf{c}|^2 = （mathbf{a} - lambda mathbf{b}） cdot （mathbf{a} - lambda mathbf{b}） = mathbf{a} cdot mathbf{a} - 2lambda mathbf{a} cdot mathbf{b} + lambda^2 mathbf{b} cdot mathbf{b}
$$
优化：
为了使 $|mathbf{c}|^2$ 最小，需要使 $-2lambda mathbf{a} cdot mathbf{b}$ 最大，即 $lambda = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|^2}$。
代入：
代入 $lambda$ 的值，得到
$$
|mathbf{c}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a} - 2 left（ frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|^2} right） mathbf{a} cdot mathbf{b} + left（ frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|^2} right）^2 |mathbf{b}|^2 = （1 - frac{（mathbf{a} cdot mathbf{b}）^2}{|mathbf{a}|^2 |mathbf{b}|^2}） |mathbf{a}|^2 |mathbf{b}|^2
$$
简化：
由于 $|mathbf{c}|^2 geq 0$，因此
$$