考研中不等式是一个重要的知识点，以下是一些基本的不等式及其在考研数学中的应用：
基本不等式
AM-GM不等式（算术平均-几何平均不等式）
对于任意非负实数 （a_1, a_2, ..., a_n），有
[
frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2...a_n}
]
Cauchy-Schwarz不等式
设有两组实数 （a_1, a_2, ..., a_n） 和 （b_1, b_2, ..., b_n），则
[
（a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2 leq （a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2）
]
柯西不等式
设 （a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n） 均为实数，则有
[
（a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2 leq （a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2）
]
当且仅当 （a_i = lambda b_i）（lambda） 为常数，（i = 1, 2, ..., n） 时取等号。
证明不等式的方法
单调性证明
利用函数的单调性来证明不等式。
中值定理证明
利用中值定理来证明不等式。
凹凸性证明
利用函数的凹凸性来证明不等式。
最值证明
利用函数的最值来证明不等式。
应用实例
利用AM-GM不等式可以证明在面积一定的情况下，长方形的长和宽的乘积最大。
Cauchy-Schwarz不等式可以用于证明向量的内积的绝对值不超过向量的模长之积。
注意事项
不等式证明是考研数学考查的重点内容之一。
在证明不等式时，需要注意不等式的性质，如对称性、传递性、加法原则等。
在面对复杂的数学问题时，可以尝试使用变限积分求导的方法来证明积分不等式。
结语
不等式在考研数学中的应用非常广泛，掌握这些基本的不等式及其证明方法对于考研数学的备考至关重要。希望这些信息能对你有所帮助，