判断极值点的方法可以分为必要条件和充分条件两类。
必要条件
一阶导数为0 ：若函数在某点的一阶导数为0，则该点可能是极值点。二阶导数为0：
若函数在某点的二阶导数为0，则该点可能是拐点，但不一定是极值点。
充分条件
一阶导数为0且左右两端异号：
若函数在某点的一阶导数为0，并且该点两侧的导数函数值异号，则该点为极值点。
二阶导数为0且三阶导数不为0：
若函数在某点的二阶导数为0，并且该点处的三阶导数不为0，则该点为极值点。
前n-1阶导数为0，第n阶导数不为0：
若函数的前n-1阶导数都为0，而第n阶导数不为0，且n为奇数，则该点不是极值点；若n为偶数，则该点是极值点。
综合判断
驻点判断：
首先确定函数的驻点，即一阶导数为0的点。然后检查这些驻点是否满足充分条件，如左右两端异号或二阶导数不为0等。
导数符号变化：
若函数在某个区间内的导数符号发生变化（由正变负或由负变正），则该点为极值点。
示例
假设有一个函数 （ f（x） = x^3 - 3x ），我们可以通过以下步骤判断其极值点：
求一阶导数
[
f'（x） = 3x^2 - 3
]
求导数为0的点
[
3x^2 - 3 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1
]
检查充分条件
对于 （ x = 1 ）：
左导数 （ f'（-1） = 3（-1）^2 - 3 = 0 ）
右导数 （ f'（1） = 3（1）^2 - 3 = 0 ）
由于左右导数相等且不为0， （ x = 1 ） 不是极值点。
对于 （ x = -1 ）：
左导数 （ f'（-1） = 3（-1）^2 - 3 = 0 ）
右导数 （ f'（1） = 3（1）^2 - 3 = 0 ）
由于左右导数相等且不为0， （ x = -1 ） 不是极值点。
通过以上步骤，我们发现 （ f（x） = x^3 - 3x ） 在其定义域内没有极值点。
建议
在实际应用中，建议先通过一阶导数为0找到可能的驻点，然后利用二阶导数及其符号变化来进一步确认极值点。对于复杂函数，可以使用数值方法或图形化工具辅助判断。