证明函数有界通常需要考虑以下几个方面：
闭区间上连续函数的有界性
如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间上必定有界。即存在两个实数M和N，使得对于所有x∈[a, b]，都有M ≤ f（x） ≤ N。
开区间上函数的有界性
如果函数在开区间（a, b）上连续，可以通过分析导数、极限或利用定义法来证明其有界性。例如，如果导数在开区间上有界，则原函数通常也是有界的。
利用三角函数的有界性
对于含有三角函数的函数，可以利用三角函数（如sin和cos）本身的有界性质来推导其有界性。例如，如果一个函数可以表示为f（x） = asin（bx + c） + d，由于sin和cos的值域都是[-1, 1]，因此f（x）的值域为[d - a, d + a]，从而证明其有界性。
利用极限分析
通过分析函数在无穷远处的极限值，可以判断函数是否有界。如果极限存在且有限，则函数在该区间内通常是有界的。例如，如果lim（x→∞） f（x） = L和lim（x→-∞） f（x） = M，则函数在（-∞, ∞）范围内是有界的。
数学归纳法
对于某些复杂的函数，可以通过数学归纳法来证明其有界性。首先证明基础情况，然后假设某个情况成立，并证明在此假设下推导出更一般的情况也成立。
利用函数的性质
某些特定类型的函数（如连续函数、有界函数的和与积）具有特定的有界性质，可以利用这些性质来证明函数的有界性。
使用数学工具
对于特定类型的函数，可能需要使用数学分析的工具，如导数、积分等来证明其有界性。例如，对于三角函数，可以使用三角函数的性质来确定其周期性和有界性。
综合应用
在实际证明过程中，可能需要结合多种方法来进行推导。以下是一个综合应用的例子：
假设我们有一个函数f（x） = sin（x） + x^2，我们需要证明它在区间[-10, 10]上有界。
闭区间上连续函数的有界性
函数f（x） = sin（x） + x^2在闭区间[-10, 10]上连续。
根据闭区间上连续函数的有界性，存在两个实数M和N，使得对于所有x∈[-10, 10]，都有M ≤ f（x） ≤ N。
利用三角函数的有界性
sin（x）的值域是[-1, 1]，因此sin（x）在[-10, 10]上有界。
x^2在[-10, 10]上的最大值是100，最小值是0。
综合得出结果
因此，f（x） = sin（x） + x^2在[-10, 10]上的值域是[0, 101]。
所以，f（x）在[-10, 10]上有界。
通过以上步骤，我们证明了函数f（x） = sin（x） + x^2在区间[-10, 10]上有界。