国家考研机构的管理部门主要是 教育部及其下属的相关司局和单位。具体来说，教育部学位管理与研究生教育司负责全国学位与研究生教育工作的改革与发展规划、指导与管理研究生培养工作等。教育部学位与研究生教育发展中心（简称教育部学位中心）作为教育部直属事业单位，也在教育部和国务院学位委员会的领导下开展工作，负责研究生考试的组织实施等相关工作。
此外，各个学校通常设有自己的研究生考试研招办，负责本校的研究生考试和招生工作，包括确定录取人数、推免人数、专业课命题和复试等，并需要上报教育主管部门批准。
综上所述，国家考研机构的管理主要由国家教育部负责，具体工作由教育部的相关司局和单位承担。