数列极限是高等数学中的一个重要概念，尤其在考研高数中占有重要地位。下面我将根据考研常见的题型，总结一些求数列极限的方法：
数列极限的基本概念
定义：设数列 （a_n） 为一数列，若存在常数 （A），对任意的 （epsilon > 0），总存在 （N_0），当 （n > N_0） 时，有 （|a_n - A| < epsilon），则称 （A） 为数列 （a_n） 的极限，记为 （lim_{n to infty} a_n = A）。
求数列极限的方法
1. 单调有界准则
单调性：通过作差法、作比法或函数法证明数列的单调性。
有界性：利用题目条件或基本不等式证明数列的有界性。
极限存在性：单调且有界的数列必有极限。
2. 夹逼准则
夹逼定理：如果存在数列 （a_n）、（b_n） 和 （c_n），满足 （a_n leq b_n leq c_n），且 （lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} c_n = L），则 （lim_{n to infty} b_n = L）。
3. 等价无穷小替换
等价无穷小：在乘除中使用等价无穷小替换，如 （e^x - 1 sim x） 当 （x to 0）。
4. 洛必达法则
使用条件：函数 （f（x）） 和 （g（x）） 的导数存在，（f（x）） 和 （g（x）） 在 （x_0） 处为 （0/0） 或 （infty/infty） 形式。
应用：对 （f'（x）） 和 （g'（x）） 求极限，得到 （lim_{x to x_0} frac{f（x）}{g（x）} = lim_{x to x_0} frac{f'（x）}{g'（x）}）。
5. 泰勒公式
应用：对含有 （e^x）、（sin x） 等函数的表达式使用泰勒展开简化计算。
6. 幂级数求和法
应用：找到级数对应的幂级数，然后求和函数，再代入极限值求解。
7. 定积分定义
应用：将数列的项表示为某个函数的值，然后利用定积分定义求极限。
注意事项
极限的唯一性：收敛数列的极限存在且唯一。
极限的有界性：收敛数列必为有界数列。
极限的保号性：收敛数列保持同号。
示例
考虑数列 （a_n = frac{1}{n^2}），求 （lim_{n to infty} a_n）。
单调性：显然 （a_n） 是单调递减的。
有界性：由于 （frac{1}{n^2} leq frac{1}{n（n+1）}） 对于所有 （n geq 1） 成立，且 （lim_{n to infty} frac{1}{n（n+1）} = 0），所以 （a_n） 是有界的。
极限存在性：根据单调有界准则，该数列有极限。
极限值：通过计算可得 （lim_{n to infty} frac{1}{n^2} = 0）。
以上方法可以帮助解决考研中的数列极限问题。