反常积分的推导在考研数学中通常涉及以下几种方法：
定义法
直接应用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，但需要求原函数在瑕点处的极限值。
比较审敛法
通过比较被积函数与已知敛散性的函数进行比较，判断反常积分的敛散性。例如，对于积分 $int_{a}^{infty} frac{1}{x^p} dx$，当 $p > 1$ 时积分收敛，当 $p leq 1$ 时积分发散。
换元积分法
通过变量替换将反常积分转化为常规积分进行计算。例如，对于积分 $int_{0}^{infty} e^{-x^2} dx$，可以通过令 $u = x^2$ 进行换元。
分部积分法
将被积函数拆分为两部分，分别进行积分，适用于积分区间包含无穷大的情况。例如，对于积分 $int_{0}^{infty} x e^{-x} dx$，可以通过分部积分法求解。
万能公式
对于某些特殊形式的反常积分，可以通过万能公式进行化简。例如，任意反常积分 $int_{a}^{infty} frac{1}{x^{alpha} ln^{beta} x} dx$ 在 $x rightarrow 0$ 或 $x rightarrow infty$ 时有特定的敛散性。
例题解析
判别反常积分的敛散性
例如，判别 $int_{2}^{3} frac{1}{（x-1）^4 sqrt{x（x-2）}} dx$ 的敛散性，可以通过比较审敛法，将其与 $int_{2}^{3} frac{1}{x^2} dx$ 进行比较，后者是收敛的，因此原积分也是收敛的。
含参积分的敛散性
例如，对于 $int_{0}^{1} frac{sqrt[m]{ ln^2（1-x）}}{sqrt[n]{x}} dx$，可以通过分析被积函数在区间端点的行为，结合比较审敛法进行判断。
无穷区间反常积分
例如，对于 $int_{0}^{infty} frac{x^n （1-e^{-x}）}{（1+x）^m} dx$，可以通过分析被积函数在无穷远处的行为，结合比较审敛法进行判断。
总结
掌握这些方法后，可以有效地推导和计算各种反常积分。建议在实际解题过程中，根据具体的积分形式选择合适的方法，并注意积累常见的反常积分形式及其解法，以便快速准确地解决问题。