基础数学硕士研究生的研究方向主要包括以下几个方面：
代数学：
研究数学中的符号、结构及其变化规律，包括群论、环论、域论等。
泛函分析及其应用：
研究函数空间上的算子及其性质，应用于量子力学、偏微分方程等领域。
图论与组合数学：
研究图的结构及其组合性质，应用于网络优化、编码理论等。
微分几何：
研究微分流形上的几何结构及其性质。
非线性泛函分析与方程理论：
研究非线性函数空间上的算子及其性质，应用于物理学、工程学等领域。
几何群论：
研究群在几何结构中的作用及其性质。
无穷维李超代数：
研究李群在无穷维向量空间上的作用及其性质。
Lie代数：
研究李群的李代数及其性质。
单复变函数论：
研究复变函数及其性质。
组合数学：
研究数学中的组合问题及其解法。
数理逻辑：
研究数学中的逻辑结构及其性质。
数论：
研究整数及其性质。
代数：
研究数学中的代数结构及其性质。
几何：
研究空间、图形及其性质。
拓扑：
研究空间的连续性质及其变化。
函数论：
研究函数的性质及其变化规律。
偏微分方程：
研究偏微分方程的解法及其性质。
调和分析：
研究函数的调和性质及其在数学物理中的应用。
数值方法：
研究数学问题的数值解法及其在工程中的应用。
计算机科学：
研究数学在计算机科学中的应用，如算法、数据结构等。
建议在选择基础数学硕士研究生方向时，结合自己的兴趣和职业规划，选择具体的研究方向。例如，对代数和拓扑感兴趣的学生可以选择代数学和拓扑学方向；对物理学和工程学感兴趣的学生可以选择微分几何和非线性泛函分析方向。同时，也可以考虑跨专业考研，进入应用数学、金融、经济等领域。