判断函数是否有界是数学分析中的一个重要概念。以下是一些常用的方法：
理论法
连续函数有界性：如果函数在某个区间内连续，那么它在该区间内一定有界。这是因为连续函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。
极限存在性：如果函数在某一点或某个区间内的极限存在，那么它也一定有界。因为极限存在意味着函数值在趋近该点或区间时不会无限增大或减小。
计算法
切分法：将定义域分成若干小区间，分别求每个小区间上的极限，如果所有小区间上的极限都存在且有限，则原函数在该定义域内有界。
放缩法：通过放缩原函数，将其转化为已知形式的简单函数，从而确定其有界性。例如，对于指数函数 （e^x），虽然其值域为 （（0, +infty）），但可以通过放缩法证明其在该区间内有界。
运算规则判定法
有界函数的性质：如果函数 （f（x）） 和 （g（x）） 都有界，且 （c） 是常数，则 （cf（x）） 和 （f（x） + g（x）） 也都有界。
极值与有界性：如果函数在定义域内有最大值和最小值，则该函数是有界的。需要注意的是，上下界未必是函数的最值，例如指数函数 （e^x） 有下界但无下确界。
特殊函数的性质
三角函数：如正弦函数 （sin（x）） 和余弦函数 （cos（x）） 是有界的，因为它们的值域分别为 （[-1, 1]） 和 （[-1, 1]）。
周期性：某些函数的周期性也可以用来判断其有界性，例如周期函数在一个周期内的取值范围是有限的。
建议
在实际应用中，可以根据函数的具体性质选择合适的方法进行判断。对于复杂的函数，可能需要综合运用多种方法来确保准确性。此外，对于极限存在性，可以通过构造数列或利用洛必达法则等方法进一步证明。