对称矩阵在数学中是一个非常重要的概念，特别是在线性代数中。以下是一些关于对称矩阵的重要性质，这些性质在考研中可能会被考查：
对称矩阵的定义
对称矩阵是一个方阵，其转置等于其本身，即 （ A = A^T ）。
对称矩阵的性质
对称矩阵的特征值全为实数。
对称矩阵的任意特征值的代数重数等于其几何重数。
对称矩阵有n个线性无关的特征向量。
对称矩阵可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得 （ P^{-1}AP ） 是对角矩阵。
对称矩阵也可以正交对角化，即存在正交矩阵P，使得 （ P^TAP ） 是对角矩阵。
对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
如果两个对称矩阵的特征值相同，则它们相似。
对称矩阵的应用
对称矩阵在量子力学、统计学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
实对称矩阵的特征向量可以构成一个正交基，这在数值计算中尤其有用。
注意事项
在处理对称矩阵时，可以利用其性质简化计算和分析。
对称矩阵的乘积也是对称的，当且仅当两个矩阵的乘法是可交换的。
以上性质是考研数学中关于对称矩阵的核心知识点。掌握这些性质有助于解决线性代数中的各种问题，包括特征值和特征向量的计算、矩阵的对角化等。