绘制相轨迹的基本思想是通过相平面上的点，利用斜率的概念来近似代替实际的相轨迹，并通过光滑连接所有的短线段来得到系统的相轨迹。以下是绘制相轨迹的详细步骤：
确定斜率
对于二阶系统，相轨迹的斜率可以通过微分方程求得。具体地，相轨迹的斜率为常数，记为α，则可以得到等倾斜线方程：
[
frac{dx}{dt} = alpha x
]
选择初始条件
根据具体的系统，选择合适的初始条件，例如 （x（0）） 和 （x'（0））。这些初始值将决定相轨迹的起点。
绘制等倾斜线
在相平面上，以不同的斜率α绘制一系列等倾斜线。每条等倾斜线对应一个特定的斜率值。
连接短线段
在每条等倾斜线上，根据系统的微分方程和初始条件，确定相轨迹上的点，并用直线段连接这些点。这些直线段代表相轨迹在该斜率下的近似轨迹。
光滑连接
使用光滑曲线或样条插值技术，将所有的短线段连接起来，形成连续的相轨迹。
具体例子
例子1：无阻尼运动
对于方程 （x'' + x = 0），其特征方程为 （r^2 + 1 = 0），解得 （r = pm i）。这是一个无阻尼运动的方程，其相轨迹应该是一个椭圆。
确定斜率
由于特征方程的根为纯虚数，相轨迹的斜率为0。
选择初始条件
假设初始条件为 （x（0） = 1） 和 （x'（0） = 1）。
绘制等倾斜线
在相平面上，斜率为0的等倾斜线为 （y = 1）。
连接短线段
由于斜率为0，相轨迹上所有点都在直线 （y = 1） 上。
光滑连接
由于所有点都在一条直线上，不需要额外的光滑处理。
例子2：有阻尼运动
对于方程 （x'' + 0.8x + x = 0），其特征方程为 （r^2 + 0.8r + 1 = 0），解得 （r = -0.4 pm 0.6i）。这是一个有阻尼运动的方程，其相轨迹是一个椭圆。
确定斜率
特征方程的根为复数，相轨迹的斜率为实数。
选择初始条件
假设初始条件为 （x（0） = 1） 和 （x'（0） = 1）。
绘制等倾斜线
在相平面上，根据特征方程的根，绘制出相应的等倾斜线。
连接短线段
根据微分方程和初始条件，确定相轨迹上的点，并用直线段连接这些点。
光滑连接
使用光滑曲线或样条插值技术，将所有的短线段连接起来，形成连续的相轨迹。
总结
通过上述步骤，可以绘制出系统的相轨迹。具体方法包括解析法和图解法，其中图解法又可分为等倾斜线法、δ法等。选择哪种方法取决于系统的复杂性和是否可以由方程直接求出相轨迹的关系。对于非线性系统，图解法通常更为适用。