考研机构违法时，可以选择以下部门进行投诉：
考研单位本身的纪检部门：
如果违规行为属于一般性的违规，可以向考研单位本身的纪检部门投诉。
当地教育行政部门或省级教育厅：
如果觉得考研机构的违规行为比较严重，可以向当地的教育行政部门或者省级教育厅投诉。
当地司法部门：
如果考研机构的违规行为非常严重，可以向当地的司法部门投诉。
消费者协会：
消费者因考研机构“霸王条款”而产生的退费纠纷可以由消费者协会来解决，也可以向有关行政部门投诉，或向法院起诉。
12315消费者热线：
拨打12315消费者热线投诉，维护权益。这是维护消费者权益的常用途径。
工商管理部门：
考研机构属于一般个人公司的，需要打12315举报投诉，属于消费者权益问题，打市场监管部门电话进行投诉。
教育部门：
如果考研机构是属于教育行业，那么到教育体育局去投诉。
中央网信办和公安部：
如果发现涉考涉招违法违规行为，可向考点所在地省级教育招生考试机构举报并提供有效线索。如遇诈骗，应及时向公安机关报案。
根据违规行为的严重程度和性质，可以选择合适的部门进行投诉。一般情况下，可以先向考研机构的纪检部门或当地教育行政部门投诉，如果问题严重，再考虑向司法部门或消费者协会求助。