证明函数连续通常需要满足以下三个条件：
1. 函数在该点有定义。
2. 函数在该点的极限存在。
3. 函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
具体来说，如果对于函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 的任意小邻域内，当 （ x ） 趋近于 （ x_0 ） 时，（ f（x） ） 的极限存在且等于 （ f（x_0） ），则称函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 连续。
证明函数连续的方法主要有：
利用函数的极限定义，即对于任意给定的正数 （ epsilon ），存在正数 （ delta ），使得当 （ |x - x_0| < delta ） 时，（ |f（x） - f（x_0）| < epsilon ）。
利用函数的 ε-δ 定义，即对于任意给定的正数 （ epsilon > 0 ），存在正数 （ delta > 0 ），使得对于所有满足 （ |x - x_0| < delta ） 的 （ x ），都有 （ |f（x） - f（x_0）| < epsilon ）。
对于分段函数，需要检查每个分段点处的左右极限是否相等并等于函数值。
对于多元函数，可以通过夹逼法或其他方法证明函数在某一点处的连续性。
需要注意的是，连续函数的性质包括加减乘、复合函数等都是连续的。此外，连续函数在闭区间上还有有界性、最大值最小值定理、零点定理和介值定理等性质。