泊松分布是概率论中的一个离散概率分布，它描述了在一定时间或空间内，某随机事件发生次数的概率。泊松分布的数学表达式为：
$$P{X=k} = frac{lambda^k e^{-lambda}}{k!}$$
其中：
$P{X=k}$ 表示事件发生 $k$ 次的概率；
$lambda$ 是单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数；
$e$ 是自然对数的底数，约等于 $2.71828$；
$k!$ 是 $k$ 的阶乘，即 $k times （k-1） times ldots times 2 times 1$。
泊松分布的参数 $lambda$ 可以根据具体问题来确定，例如，如果预计某家医院在一定时间内到达的人数服从泊松分布，那么 $lambda$ 就是这段时间内平均到达的人数。泊松分布的期望和方差都等于参数 $lambda$，这意味着它的平均值和波动程度是相同的。
泊松分布常用于统计质量控制中，作为单位产品中出现的不合格或缺陷数的模型。此外，泊松分布也可以看作是二项分布的一种极限形式，当试验次数 $n$ 很大而每次试验成功的概率 $p$ 很小时，二项分布就趋近于泊松分布。
泊松分布在许多实际问题中都有应用，例如预测自然灾害的发生次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等。泊松分布的公式和性质是概率论的基础知识，对于理解和应用这一分布非常重要。