在考研中，判断反常积分的敛散性是一个重要的知识点，尤其是数学二科目中。以下是一些常用的方法来判别反常积分的敛散性：
1. 定义法
比较判别法：
如果存在一个已知敛散性的函数 （ f（x） ），使得对于所有 （ x ） 在积分区间内，（ 0 leq f（x） leq g（x） ），且 （int_a^infty g（x） mathrm{d}x ） 收敛，则 （int_a^infty f（x） mathrm{d}x ） 也收敛。
极限比较判别法：
如果存在一个函数 （ f（x） ） 和一个已知收敛或发散的积分 （int_a^infty g（x） mathrm{d}x ），使得 （lim_{x to infty} frac{f（x）}{g（x）} = L），其中 （ L ） 是一个有限数，则：
如果 （ L < 0 ），则 （int_a^infty f（x） mathrm{d}x ） 收敛；
如果 （ L > 0 ） 且 （int_a^infty g（x） mathrm{d}x ） 发散，则 （int_a^infty f（x） mathrm{d}x ） 发散；
如果 （ L = 0 ） 且 （int_a^infty g（x） mathrm{d}x ） 发散，则 （int_a^infty f（x） mathrm{d}x ） 的敛散性不确定。
2. 特殊反常积分的敛散性
对于形如 （int_1^infty frac{1}{x^p} mathrm{d}x），当 （ p > 1 ） 时收敛，当 （ p leq 1 ） 时发散。
3. 几何级数或p级数
如果积分的通项可以表示为几何级数或p级数，可以直接使用已知的敛散性结果。
4. 比值判别法和根值判别法
对于正项级数，可以使用比值判别法或根值判别法来判断其敛散性。
5. 幂级数的收敛性
对于幂级数 （sum a_n x^n），可以通过计算收敛半径、收敛区间和收敛域来判断其敛散性。
6. 举例说明
例如，对于积分 （int_1^infty frac{1}{x^2} mathrm{d}x），由于 （frac{1}{x^2} leq frac{1}{x^p}） 对于所有 （ p > 1 ） 和足够大的 （ x ），且 （int_1^infty frac{1}{x^p} mathrm{d}x） 在 （ p > 1 ） 时收敛，所以 （int_1^infty frac{1}{x^2} mathrm{d}x） 也收敛。
以上方法可以帮助你快速判断考研中遇到的各类反常积分的敛散性。请根据具体情况选择合适的方法进行判断