考研团员介绍信应该由以下机构开具：
所在学校或单位：
如果你目前在学校或单位，可以直接向他们请求开具介绍信。通常，学校或单位会保存有你的团关系和人事档案，可以方便地为你开具介绍信。
人才市场：
如果你已经毕业，且档案被托管在人才市场，那么你应该联系该人才市场，询问是否可以开具介绍信。他们通常会保存有你的党团关系和人事档案，可以为你提供介绍信。
原学校：
如果你已经毕业且档案不在当前所在地，可以向原学校询问党团关系和人事档案是否封装在一起，然后联系当前学校查证是否包含这些档案。确认无误后，再到考研期间负责保存档案的人才市场开具介绍信。
智慧团建系统：
对于线上转接的团员，可以通过“网上共青团·智慧团建”系统进行转接，这样就不需要再开具纸质的介绍信。如果系统转接不成功，则需要按照学校的要求，开学后将介绍信上交并录入智慧团建系统中。
街道党委：
对于未就业高校毕业生，团关系通常会转到户籍所在地街道的流动团支部。因此，可以联系当地街道党委，找到管理团员资料的人员开具介绍信或在团员证上盖章转出。
学院或部门：
有些情况下，也可能需要联系所在学院或部门的团委或办公室工作人员，他们了解你的具体情况并可以开具介绍信。
建议
提前准备：尽早联系相关机构，确认需要哪些材料和手续，以确保介绍信能够及时开具并符合要求。
咨询导师或学校：如果你不确定具体流程，可以向导师或学校的相关部门咨询，他们通常会提供详细的指导和帮助。
确认有效期：在开具介绍信时，务必确认其有效期，并在有效期内使用，以免影响考研的相关手续。