关于考研数学证明题，特别是关于连续函数在闭区间上的性质，以下是一些关键知识点和证明方法：
连续函数在闭区间上的性质
有界性和最值定理
连续函数在一个闭区间上必定有最大值和最小值。
零点定理
如果函数在闭区间[a, b]上连续，且f（a）和f（b）异号，即f（a）*f（b）<0，则存在至少一个c∈（a, b），使得f（c）=0。
介值定理
如果函数在闭区间[a, b]上连续，且f（a）和f（b）异号，则对于任意介于f（a）和f（b）之间的值k，都存在至少一个c∈（a, b），使得f（c）=k。
零点定理的证明
证明零点定理的一种方法是使用反证法。假设不存在c∈（a, b）使得f（c）=0，那么对于任意c∈（a, b），都有f（c）≠0。由于f（a）和f（b）异号，我们可以分两种情况讨论：
如果f（a）>0且f（b）<0，则对于所有c∈（a, b），f（c）<0。这意味着函数在区间（a, b）上始终小于零，与f（b）<0矛盾。
如果f（a）<0且f（b）>0，则对于所有c∈（a, b），f（c）>0。这意味着函数在区间（a, b）上始终大于零，与f（a）<0矛盾。
因此，我们的假设不成立，至少存在一个c∈（a, b）使得f（c）=0。
证明题解题思路
几何意义：理解函数的图形变化，如连续函数在闭区间上的图像。
反证法：通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明结论。
中值定理：利用介值定理等中值定理来证明某些性质。
备考建议
理解基本概念：确保理解连续函数在闭区间上的基本性质。
练习证明题：通过大量练习来提高证明题的解题能力。
参考教材和辅导资料：如文都网校提供的教材和证明分析，可以帮助理解零点定理及其推论。
希望这些信息对你准备考研数学证明题有所帮助。