考研中证明阿贝尔定理，可以参考以下步骤和提示：
理解阿贝尔定理
阿贝尔定理是关于幂级数的一个重要结果。设幂级数为$sum_{n geq 0} a_n z^n$，其收敛半径为$R$。若对收敛圆上的某个复数$z_0$，级数$sum_{n geq 0} a_n z_0^n$收敛，则有$lim_{t to 1^-} f（t z_0） = sum_{n geq 0} a_n z_0^n$。若$sum_{n geq 0} a_n R^n$收敛，则结果显然成立。
掌握证明方法
证明阿贝尔定理的关键在于利用幂级数的性质和极限的计算。可以通过在级数每项后加上$x^n$项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算$x$趋于1时幂级数的极限。
具体证明步骤
假设幂级数$sum_{n geq 0} a_n z^n$的收敛半径为1，并且已知在收敛圆上的某个复数$z_0$处级数收敛。
考虑$f（z_0）$的值，并利用幂级数的性质，可以得到$lim_{t to 1^-} f（t z_0） = sum_{n geq 0} a_n z_0^n$。
通过选择合适的$N_0$和$delta$，可以证明对于任意的$epsilon > 0$，存在$N_1$，使得当$n > N_1$时，$|a_n z_0^n| < epsilon$。
进一步，可以证明对于任意的$t$在收敛域内，有$|f（t z_0） - sum_{n geq 0} a_n z_0^n| < epsilon$。
应用实例
例如，考虑幂级数$f（x） = sum_{n geq 1} frac{（-1）^{n+1}}{n} x^n = log（1 + x）$，其收敛半径为1。
计算$sum_{n geq 1} frac{（-1）^{n+1}}{n}$，可以通过将$x$取为$t z_0$，其中$z_0 = 1$，然后计算$t to 1^-$时的极限。
总结
通过上述步骤和技巧，可以在考研中有效地证明阿贝尔定理。关键在于理解幂级数的性质，并能够正确应用极限的计算方法。
建议在实际证明过程中，多练习和总结，确保对定理的理解深刻，能够灵活运用。