考研积分中值定理是 定积分的一种重要定理，具体分为积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理
定理内容：如果函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，则至少存在一个点 （ xi in [a, b] ），使得
[
int_{a}^{b} f（x） , dx = f（xi） cdot （b - a）
]
积分第二中值定理
定理内容：如果函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，在开区间 （（a, b）） 内可导，则至少存在一个点 （ xi in （a, b） ），使得
[
int_{a}^{b} f（x） , dx = f'（xi） cdot （b - a）
]
重要性和应用
重要性：积分中值定理在考研中是一个重要的知识点，通常在证明题和求极限的题目中会用到。掌握这个定理及其证明过程，可以帮助学生简化复杂积分的计算，提高解题效率。
应用：
求极限：利用积分中值定理可以将复杂的积分表达式转化为一个函数在某一点的值，从而便于求极限。
证明题：在证明某些性质点存在时，积分中值定理可以作为一个有力的工具。
估计积分值：通过积分中值定理，可以估计积分的上下界。
注意事项
条件：函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上必须连续，对于积分第二中值定理，函数还需要在开区间 （（a, b）） 内可导。
推论：积分第二中值定理还有三个常用的推论，分别是：
1. 如果函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，在开区间 （（a, b）） 内可导，且 （ f（a） = f（b） ），则存在 （ xi in （a, b） ），使得 （ f'（xi） = 0 ）。
2. 如果函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，在开区间 （（a, b）） 内可导，且 （ f'（a） = f'（b） ），则存在 （ xi in （a, b） ），使得 （ f''（xi） = 0 ）。
3. 如果函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，在开区间 （（a, b）） 内可导，且 （ f（x） ） 在 （[a, b]） 上单调，则存在 （ xi in （a, b） ），使得 （ f'（xi） = frac{f（b） - f（a）}{b - a} ）。
通过掌握这些内容，学生在考研中能够更好地应对与积分中值定理相关的题目。