考研数学无穷级数求和

无穷级数求和是高等数学中的一个重要概念，它涉及到判断级数的收敛性以及计算级数的和。下面是一些基本概念和方法：

无穷级数求和基本概念

无穷级数：由无穷多个项组成的和，形式为 （ S = a_1 + a_2 + a_3 + cdots ），其中 （ a_n ） 是第 （ n ） 项。

收敛性：无穷级数是否收敛是关键，若级数收敛，则其和存在；若发散，则和不存在。

收敛性判定方法

比较判别法：比较级数 （ sum a_n ） 与已知收敛或发散的级数 （ sum b_n ）。

比值判别法：计算 （ lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right| ）。

根值判别法：计算 （ lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} ）。

积分判别法：将级数项与积分函数比较。

无穷级数求和公式

等比级数求和： （ frac{1}{1-x} = sum x^n quad （|x|<1） ）。

特殊级数求和：例如 （ frac{1}{1+x} ）， （ frac{1}{1-x^2} ）， （ frac{1}{1+x^2} ） 等。

Python 示例

```python

import math

def sum_infinite_series（epsilon）:

sum = 0

n = 1

while True:

term = 1 / （n 2）

if term < epsilon:

break

sum += term

n += 1

return sum

epsilon = 1e-6

result = sum_infinite_series（epsilon）

print（f"无穷级数的和为： {result}"）

```

幂级数求和

幂级数是将某个函数展开为无穷级数的一种方法，例如：

幂级数展开： （ f（x） = sum a_n x^n ）。

收敛域：幂级数的收敛区间由收敛半径 （ R ） 确定， （ |x| < R ）。

特殊级数求和技巧

逐项求导和逐项积分：在求导或积分后，级数可能变得简单，易于求和。

变量替换法：通过变量替换简化级数求和。

特殊函数求和：如傅里叶级数求和，适用于周期函数。

注意事项

当 （ x ） 作为分母时，求和函数 （ S（x） ） 可能是分段函数，需要分类讨论 （ x = 0 ） 的情况。

幂级数在其收敛区间内是内闭一致收敛的，由 Abel 定理保证。

以上是无穷级数求和的基本概念和方法。