要求出曲率圆的方程，可以按照以下步骤进行：
计算曲率半径
曲率半径 （ R ） 的计算公式为 （ R = frac{1}{K} ），其中 （ K ） 是曲率。
选取曲线上的一点 M
在给定的曲线上选取一点 （ M ），并计算该点处的曲率半径 （ R ）。
确定法线方向
在点 （ M ） 的法线上选取一点 （ D ），使得 （ DM ） 等于 （ M ） 处的曲率半径 （ R ）。
作圆
以点 （ D ） 为圆心，以 （ DM ） 为半径作圆，这个圆就是曲线在点 （ M ） 处的曲率圆。
曲率圆方程
如果已知曲线的方程为 （ y = f（x） ），则曲率圆的方程可以表示为 （ （x - alpha）^2 + （y - beta）^2 = R^2 ），其中 （ （alpha, beta） ） 是曲率中心，且 （ alpha = x_0 - frac{f'（x_0）}{1 + [f'（x_0）]^2} cdot frac{1}{f''（x_0）} ），（ beta = y_0 + frac{1}{1 + [f'（x_0）]^2} cdot frac{1}{f''（x_0）} ）。
示例
假设已知曲线方程为 （ y = x^2 ），求该曲线在点 （ （1, 1） ） 处的曲率圆方程。
计算曲率半径
曲率 （ K = frac{1}{R} ）。
首先求导数 （ f'（x） = 2x ） 和 （ f''（x） = 2 ）。
在点 （ （1, 1） ） 处， （ f'（1） = 2 ） 和 （ f''（1） = 2 ）。
曲率半径 （ R = frac{1}{K} = frac{1}{frac{1}{2}} = 2 ）。
确定法线方向
法线方向上的点 （ D ） 距离 （ M ） 为 2。
作圆
以 （ （1, 1） ） 为圆心，2为半径作圆。
曲率圆方程
圆的方程为 （ （x - 1）^2 + （y - 1）^2 = 4 ）。
通过以上步骤，我们得到了曲线 （ y = x^2 ） 在点 （ （1, 1） ） 处的曲率圆方程为 （ （x - 1）^2 + （y - 1）^2 = 4 ）。