求逆矩阵的方法有多种，以下是一些常用的方法：
定义法
逆矩阵的定义是：如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 的乘积是单位矩阵 $E$，即 $AB = BA = E$，那么称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。这种方法虽然直接，但对于大型矩阵来说计算量较大。
伴随矩阵法
对于一个 $n times n$ 的可逆矩阵 $A$，其逆矩阵 $A^{-1}$ 可以通过其伴随矩阵 $A^{*}$ 求得，具体公式为：
$$A^{-1} = frac{1}{|A|} A^{*}$$
其中 $|A|$ 是矩阵 $A$ 的行列式。
初等行变换法
将矩阵 $A$ 和单位矩阵 $E$ 并排写成增广矩阵 $[A | E]$，然后通过初等行变换将 $A$ 变为 $E$，同时对 $E$ 进行相同的行变换，最终得到的矩阵的左侧就是 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。
分块矩阵法
对于分块对角矩阵，其逆矩阵的求解可以简化为对角块的逆矩阵的组合。
克拉默法则
根据克拉默法则，如果矩阵 $A$ 的行列式 $|A| neq 0$，则 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 的元素可以表示为 $A$ 的代数余子式与 $|A|$ 的比值。
解题步骤
判断矩阵是否可逆
计算矩阵的行列式 $|A|$，如果 $|A| neq 0$，则矩阵可逆。
选择合适的方法
如果矩阵较小，可以直接使用定义法或伴随矩阵法。
如果矩阵较大，建议使用初等行变换法或分块矩阵法。
计算逆矩阵
使用伴随矩阵法时，先求出伴随矩阵 $A^{*}$，然后计算 $A^{-1} = frac{1}{|A|} A^{*}$。
使用初等行变换法时，将 $A$ 和 $E$ 并排写成增广矩阵，通过初等行变换将 $A$ 变为 $E$。
示例
假设有一个 $3 times 3$ 的矩阵 $A$：
$$A = begin{pmatrix}
1 & 2 & 3
4 & 5 & 6
7 & 8 & 9
end{pmatrix}$$
计算行列式 $|A|$
$$|A| = 1 cdot （5 cdot 9 - 6 cdot 8） - 2 cdot （4 cdot 9 - 6 cdot 7） + 3 cdot （4 cdot 8 - 5 cdot 7） = 1 cdot （45 - 48） - 2 cdot （36 - 42） + 3 cdot （32 - 35） = -3 + 12 - 9 = 0$$
由于 $|A| = 0$，矩阵 $A$ 不可逆。
选择其他方法
如果 $|A| neq 0$，可以使用伴随矩阵法或初等行变换法。
总结
掌握这些方法后，可以根据具体题目选择最合适的方法求解逆矩阵。建议在解题过程中仔细分析矩阵的结构，选择最简单的方法进行计算。