在考研数学中，证明数列单调的方法主要有以下几种：
单调有界法
证明数列有界：首先证明数列有上界或下界。
证明数列单调：然后证明数列是单调递增或单调递减。可以分别采用以下方法：
数学归纳法：通过递推关系预估数列的单调性，并代入具体值进行验证。
拉格朗日中值定理：将数列转化为函数后求导，利用中值定理判断数列的单调性。
构造差分形式：通过计算$X_{n+1} - X_n$或$frac{X_{n+1}}{X_n}$，证明其大于0或小于等于1，从而确定数列的单调性。
直接证明法
给出首项：如果已知数列的首项，可以直接利用导数工具证明数列的单调性。
构造函数：将数列转化为函数，通过求导判断函数的单调性，从而推断数列的单调性。
压缩映射法
构造映射：构造一个压缩映射，使得数列在该映射下收敛，从而证明数列的单调性。
示例
假设要证明数列${a_n}$是单调递增的，可以采用以下步骤：
证明有界性
假设数列有上界$M$，即对于任意的$n in mathbb{N}^*$，都有$a_n leq M$。
证明单调性
对于任意的$n in mathbb{N}^*$，证明$a_{n+1} geq a_n$。
可以通过数学归纳法或直接利用不等式进行证明。
例如，如果已知$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$，可以证明$a_{n+1} - a_n = 2a_n + 1 - a_n = a_n + 1 > 0$，因此数列单调递增。
总结
证明数列单调的关键在于确定数列的有界性和单调性。有界性可以通过数学归纳法、不等式或构造函数的方法证明。单调性则可以通过差分形式、导数工具或压缩映射法等方法证明。通过综合运用这些方法，可以有效地证明数列的单调性。