考研数学中偏微分方程部分主要考查的是对多元函数偏导数、高阶偏导数、以及特定类型的偏微分方程的求解能力。以下是偏微分方程的一些关键知识点和常见类型：
关键知识点
多元函数的偏导数：
理解如何对多元函数求偏导数，包括一阶和二阶偏导数。
高阶偏导数：
掌握多元函数的高阶偏导数的计算方法和性质。
泰勒公式：
了解如何使用泰勒公式展开函数。
分离变量法：
用于求解某些类型的偏微分方程，如热传导方程和波动方程。
变系数法 、 特征线法、 格林函数法：
这些方法用于求解更复杂的偏微分方程。
稳定性、唯一性：
理解偏微分方程解的性质。
常见类型
热传导方程：
形式为 （ frac{partial u}{partial t} = k frac{partial^2 u}{partial x^2} ），其中 （ k ） 是热传导系数。
波动方程：
形式为 （ frac{partial^2 u}{partial x^2} = frac{partial^2 u}{partial y^2} ）。
拉普拉斯方程：
形式为 （ frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = 0 ）。
亥姆霍兹方程：
形式为 （ nabla^2 u = 0 ），其中 （ nabla^2 ） 表示拉普拉斯算子。
求解步骤
理解方程：
分析偏微分方程的形式和条件，确定其类型和特性。
选择坐标系：
根据问题的性质选择合适的坐标系。
分离变量：
将偏微分方程中的变量分离，转化为关于一个变量的微分方程。
求解微分方程：
利用微分方程的求解方法求解分离后的方程。
还原解：
将求解得到的解转换回原坐标系。
检验解：
将求得的解代入原偏微分方程，检验其是否满足方程。
例子
考虑以下二阶常系数线性偏微分方程：
[ frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = 0 ]
使用特征线法，设通解形式为 （ u（x,y） = X（x）Y（y） ），带入方程得到特征方程：
[ r^2 + 1 = 0 ]
解得 （ r = pm i ），所以通解为：
[ u（x,y） = cos（x）cos（y） ]
以上是偏微分方程的基本知识点和求解方法。考研数学中偏微分方程部分难度较大，需要考生具备较强的数学素养和思维能力。