证明数列极限存在的方法有多种，以下是一些常用的方法：
利用夹逼准则
夹逼准则是通过不等式放缩来证明数列极限存在的方法。例如，对于数列的n项和，可以对分母进行统一化放缩，然后计算两边的极限。对于非n项和，也可以利用固定的答题公式进行计算。
利用单调有界准则
单调有界准则指出，单调增加（减少）且有上（下）界的数列必定收敛。因此，可以先证明数列的有界性，再证明其单调性，从而得出数列极限存在。
利用数列的极限定义
数列的极限定义是证明数列极限存在的基本方法。具体来说，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|a_n - L| < ε成立，则数列{a_n}的极限存在，且极限值为L。
利用函数的极限定义
函数的极限定义也可以用于证明数列的极限存在。通过将数列的项视为函数的取值，可以利用函数的极限定义来证明数列的极限存在。
利用中值定理
中值定理可以用于证明某些数列的极限存在性。例如，可以借助中值定理构造辅助函数，通过函数的连续性来证明数列的极限存在。
利用几何意义
几何意义可以帮助我们寻求证明思路，构造出所需要的辅助函数。通过几何图形的解释，有时可以更直观地理解数列或函数的极限行为。
具体例题分析
利用夹逼准则证明数列极限
例题：证明数列{a_n} = 1 - 1/n的极限为1。
证明：考虑数列的前n项和S_n = 1 - 1 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/n。我们可以将S_n与1进行夹逼：
S_n < 1 - 1/n + 1/n = 1，且S_n > 1 - 1 + 1/n - 1/n = 1 - 1/n。
因此，1 - 1/n < S_n < 1，当n趋于无穷大时，1 - 1/n趋于1。所以，数列{a_n}的极限为1。
利用单调有界准则证明数列极限
例题：证明数列{a_n} = n/2^n的极限为0。
证明：首先证明数列{a_n}是有界的，即存在M使得a_n < M对所有n成立。考虑a_n = n/2^n，我们有：
a_n = n/2^n < （n+1）/2^（n+1） = （n+1）/2 * 1/2^n。
令b_n = （n+1）/2 * 1/2^n，则b_n是单调递减的，且b_1 = 1/2，b_n < b_（n+1）。
因此，数列{a_n}是有界的。再证明数列{a_n}是单调递减的：
a_{n+1} - a_n = （n+1）/2^（n+1） - n/2^n = （n+1 - 2n）/2^（n+1） = （1-n）/2^（n+1） < 0。
所以，数列{a_n}是单调递减的。根据单调有界准则，数列{a_n}的极限为0。
总结
证明数列极限存在的方法多种多样，选择合适的方法取决于具体问题的特点。熟练掌握这些方法，并通过大量练习来提高解题技巧，是解决考研数学中数列极限存在性证明题的关键。