要证明一个函数的极限不存在，可以依据以下几种情况：
极限为无穷
如果函数的极限为正无穷或负无穷，那么该极限不存在。例如，函数 $f（x） = frac{1}{x}$ 当 $x to 0$ 时，极限为正无穷。
左右极限不相等
如果函数在某一点的左极限和右极限不相等，那么该点的极限不存在。例如，函数
$$
f（x） = begin{cases}
1 & text{if } x leq 0
0 & text{if } x > 0
end{cases}
$$
当 $x to 0$ 时，左极限为1，右极限为0，因此极限不存在。
没有确定的函数值
如果函数在某一点的极限值无法确定，例如 $lim_{x to 0} sin（x）$，从0到无穷，那么该极限不存在。
极限为0但分子分母的极限不等
如果函数的极限为0，但分子和分母的极限都不为0，且分子和分母的极限不等，那么整体极限不存在。例如，函数
$$
f（x） = frac{sin（x）}{x}
$$
当 $x to 0$ 时，分子极限为0，分母极限也为0，但整体极限为1，不是0，因此这种情况下的极限不存在。
夹逼定理不适用
如果无法应用夹逼定理来证明极限存在，例如无法找到两个函数 $g（x） leq f（x） leq h（x）$ 且 $g（x） to a$ 和 $h（x） to a$，那么极限可能不存在。
单调有界准则不适用
如果函数不满足单调有界准则，即无法证明函数是单调增加（减少）且有上（下）界，那么极限可能不存在。
柯西准则不适用
如果函数不满足柯西准则，即数列 ${x_n}$ 不收敛于一点，或者子列不都收敛于同一点，那么极限可能不存在。
通过以上方法，可以判断并证明一个函数的极限是否存在。在具体应用时，需要结合函数的性质和定义来选择合适的证明方法。