数列极限
单调性：如果数列的递推式为 $a_{n+1} = f（a_n）$，且 $f'（x） > 0$ 当 $x > a_1$，$f'（x） < 0$ 当 $x < a_1$，则数列 ${a_n}$ 单调递增；反之，若 $f'（x） > 0$ 当 $x < a_1$，$f'（x） < 0$ 当 $x > a_1$，则数列单调递减。
收敛性
压缩映像原理：如果存在一个 $k in （0,1）$ 使得 $|f'（x）| leq k$，则数列 ${a_n}$ 收敛。
定积分
有理函数的拆分：对于多项式函数 $P_n（x） = （a_1 x + b_1）（a_2 x + b_2）（a_3 x + b_3）$，可以拆分为 $A_1 a_1 x + b_1 + A_2 a_2 x + b_2 + A_3 a_3 x + b_3$。
微分中值定理
费马引理：如果函数 $f（x）$ 在 $x_0$ 处可导且 $f（x_0）$ 是极值，则 $f'（x_0） = 0$。
罗尔定理：如果函数 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $（a, b）$ 内可导，且 $f（a） = f（b）$，则存在至少一个 $c in （a, b）$ 使得 $f'（c） = 0$。
拉格朗日中值定理：如果函数 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $（a, b）$ 内可导，则存在至少一个 $c in （a, b）$ 使得 $f'（c） = frac{f（b） - f（a）}{b - a}$。
柯西中值定理：如果函数 $f（x）$ 和 $g（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $（a, b）$ 内可导，且 $g'（x） neq 0$，则存在至少一个 $c in （a, b）$ 使得 $frac{f'（c）}{g'（c）} = frac{f（b） - f（a）}{g（b） - g（a）}$。
泰勒中值定理：如果函数 $f（x）$ 在 $x_0$ 处具有 $n+1$ 阶导数，则存在至少一个 $c in （x_0, x_0 + h）$ 使得 $f（x） = f（x_0） + f'（x_0）h + frac{f''（x_0）}{2!}h^2 + cdots + frac{f^{（n）}（x_0）}{n!}h^n + frac{f^{（n+1）}（c）}{（n+1）!}h^{n+1}$。
极限与级数
等价无穷小：例如，当 $x to 0$ 时，$sin x sim x$，$ln（1+x） sim x$，$1 - cos x sim frac{x^2}{2}$ 等。
函数性质
极值点：驻点可能是极值点，也可能不是极值点；函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。
这些结论在考研数学中非常有用，掌握它们有助于提高解题的准确性和效率。建议考生在复习过程中反复练习和应用这些结论，以加深理解和记忆。