反常积分是高等数学中的一个重要概念，主要出现在数学分析或高等数学的课程中，尤其在考研数学中占有重要地位。反常积分 分为两个大类：第一类反常积分和第二类反常积分。
第一类反常积分
定义：积分区间包含无穷大点或可去间断点。
计算步骤：通常先确定积分的敛散性，然后计算极限。
第二类反常积分
定义：积分区间不包含无穷大点，但被积函数在积分区间内有奇点。
计算步骤：同样先确定积分的敛散性，然后计算极限。
反常积分的判别法
判定反常积分收敛与发散的方法主要有以下几种：
定义法
直接求极限，如果极限存在则收敛，否则发散。
比较判别法
寻找一个与原函数同阶的已知敛散性的函数，通过比较原函数与已知函数的反常积分敛散性来判定原函数的敛散性。
极限比较判别法
是比较判别法的一种形式，通过求极限来判定反常积分的敛散性。
反常积分的计算方法
计算反常积分的主要方法包括：
换元法
通过变量替换将复杂的反常积分转化为简单的形式。
分部积分法
将复杂的积分拆分为两个较简单的积分之和，然后分别计算。
审敛法
用于判定反常积分的敛散性，包括比较审敛法、根值审敛法等。
注意事项
在计算反常积分时，需要特别注意积分的敛散性，不能随意应用加减法运算。
对于无界函数的反常积分，除了使用定义法外，还可以使用比较审敛法、根值审敛法等判别法。
举例
计算无穷区间上的反常积分
[
int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx = lim_{t to infty} int_{1}^{t} frac{1}{x^2} , dx = lim_{t to infty} left（ -frac{1}{x} right） Big|_{1}^{t} = lim_{t to infty} left（ 1 - frac{1}{t} right） = 1
]
计算无界函数的反常积分
[
int_{0}^{infty} x e^{-x} , dx
]
使用分部积分法：
[
int u , dv = uv - int v , du
]
令 （ u = x ），（ dv = e^{-x} , dx ），则 （ du = dx ），（ v = -e^{-x} ）：
[
int_{0}^{infty} x e^{-x} , dx = left[ -x e^{-x} right]_{0}^{infty} + int_{0}^{infty} e^{-x} , dx = 0 + left[ -e^{-x} right]_{0}^{infty} = 0 + 1 = 1
]
通过以上内容，可以对反常积分有一个全面的了解，并在考研数学中取得好成绩。建议多做习题，加深理解和应用能力。