欧拉方程是数学一考试范围内的内容，它是一种特殊的变系数线性微分方程，其特点是各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同。欧拉方程可以通过变量代换化为常系数微分方程，其中最常用的换元方法是令 x = e^t。
换元
令 x = e^t，则 dx = e^t dt。通过链式法则，可以得到：
一阶导数：dy/dt = y'，因此 y' = xy
二阶导数：d^2y/dt^2 = y'' + xy'，因此 y'' = y'' + xy'
以此类推，直到 n 阶导数：d^ny/dt^n = y^（n） + C（n）xy^（n-1），其中 C（n） 是组合数
代入原方程
将 x = e^t 和上述导数代入原欧拉方程，得到一个关于 y 和 t 的常系数线性微分方程。
求解常系数线性微分方程
常系数线性微分方程的解法包括特征方程法、待定系数法等。通过求解特征方程，可以得到齐次方程的通解；对于非齐次方程，可以通过待定系数法求特解。
换回原变量
将 t 替换回 x，得到原欧拉方程的解。
示例
考虑以下欧拉方程：
x^2 y'' + x y' - 6y = 0
令 x = e^t，则 dx = e^t dt，y' = xy，y'' = y'' + xy'。
代入原方程得：
e^（2t） （y'' + xy'） + e^t （y'） - 6y = 0
e^（2t） y'' + e^（2t） xy' + e^t xy' + e^t y' - 6y = 0
（y'' + 2xy' + xy'） + （y' + xy'） + y' - 6y = 0
（y' + 3xy'）' + （y' + xy'） - 6y = 0
令 y' + 3xy' = u，则 y'' + 3xy' = u'，代入上式得：
u' + u - 6y = 0
这是一个一阶线性微分方程，可以解得：
u = Ce^（-3t） - 2y
y' + 3xy' = Ce^（-3t） - 2y
（1 + 3x）y' = Ce^（-3t） - 2y
y' = （Ce^（-3t） - 2y） / （1 + 3x）
通过积分，可以得到 y 的表达式，再换回 x 即可得到原方程的解。
建议
掌握换元法：熟练掌握 x = e^t 的换元方法及其导数关系。
熟悉常系数线性微分方程的解法：包括特征方程法和待定系数法。
练习：通过多做习题来巩固解法，特别是非齐次欧拉方程的特解求解。
希望这些信息能帮助你更好地准备考研中的欧拉方程部分。