求一个函数的反函数通常遵循以下步骤:
1. 确定原函数是否为单调函数。如果原函数不是单调的,则它没有反函数。
2. 如果原函数是单调的,将原函数中的x和y互换位置,得到一个新的方程。
3. 解出新方程中的y,得到x关于y的表达式。
4. 交换回原来的变量,得到反函数的解析表达式。
5. 确定反函数的定义域。反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。
例如,求函数y = √(1 - x)的反函数:
1. 将x和y互换位置得到x = √(1 - y)。
2. 两边平方得到x² = 1 - y。
3. 解出y得到y = 1 - x²。
4. 交换回原来的变量得到反函数y = 1 - x²,其中x的定义域为y≥0。
需要注意的是,在求解过程中,必须保证解出的表达式符合原函数的定义域,并且反函数的值域与原函数的定义域相对应