赵默笙出国留学的原因是多方面的，主要包括以下几点：
家庭背景的影响：
赵默笙的父亲因为贪污事情败露，担心这会连累到女儿，因此计划将她送往国外，以保护她免受影响。
友情和爱情的背叛：
赵默笙在出国前，经历了友情和爱情的双重背叛。她的父亲安排她出国，部分原因也是因为她承受不了何以琛的倔强和生气，以为她被抛弃了。此外，何以玫的挑衅和告诉赵默笙她不是何以琛的亲妹妹，以及何以玫对何以琛的感情，进一步加深了赵默笙对自己和何以琛感情的不信任。
个人追求和成长：
赵默笙渴望通过出国留学来摆脱过去的阴影，寻求新的生活方式，提升自己的独立性和自信心。她希望通过留学接触更广泛的知识和文化，拓展视野，学习更多的技能，为未来的事业和发展打下基础。
逃避现实：
赵默笙在美国的生活并不顺利，她面临着语言不通、生计问题以及帮助邻居照顾孩子的压力。尽管如此，她仍然无法忘记何以琛，无法完全融入美国的生活，这让她始终想要回到故土。
综上所述，赵默笙出国留学的原因是多方面的，既有家庭背景的影响，也有个人情感和成长的追求，同时也有逃避现实的成分。这些因素共同促使她做出了出国留学的决定。