清朝之所以允许留学，主要原因可以归纳为以下几点：
政治和军事改革的需要
清朝在1840年鸦片战争后，面临内忧外患，政局动荡。为了学习西方的先进科技和军事技术，以制夷自强，清政府开始转变对西方的态度，从排斥到学习。洋务运动是这一转变的具体体现，其中提出了“师夷长技以制夷”的口号，派遣留学生出洋成为学习西方的一个重要手段。
培养高质量人才
为了培养高质量的人才，清政府选拔了120名幼童赴美留学，希望他们能够学习西方的先进科学技术和管理经验，回国后为国家效力。此外，还派遣了多批学生赴英、法、德等国学习海陆军事及船舰修造等先进技术。
加强对外沟通和交流
清朝在与列强的交往中，深感语言和文化障碍的困扰。派遣留学生出国可以培养外语人才，改善对外沟通，减少翻译过程中的干扰和欺诈，同时也有助于了解西方的世界和文化，为将来的外交工作储备人才。
社会环境和风气的影响
从鸦片战争开始，清政府一直受到列强的欺辱，学习西方的先进技术被视为救亡图存的重要手段。在这种社会环境下，出国留学成为了一种自强的风气。
国际政治和经济因素
西方国家希望通过培养中国留学生，在中国培养亲西方势力，从而更有效地获得经济和政治利益。同时，这些留学生在国外学习后，回国后可能会对留过学的国家产生好感，有利于西方在中国的影响力扩张。
清末新政的推动
清末新政期间，政府鼓励留学，希望通过引进西方的科技和管理经验来推动国家的现代化进程。这一政策导向的转移，促使留学成为清末新政的重要内容之一。
综上所述，清朝允许留学的原因是多方面的，包括政治和军事改革的需要、培养高质量人才、加强对外沟通和交流、社会环境和风气的影响、国际政治和经济因素以及清末新政的推动。这些因素共同促使清政府实施留学政策，以期达到自强和救国的目的。