留学线性代数考试通常涵盖以下核心内容：
行列式
行列式的定义和基本性质。
行列式的计算，包括具体行列式和抽象行列式。
行列式与矩阵的关系，例如行列式在矩阵可逆性判定中的应用。
矩阵
矩阵的定义和基本运算（加法、乘法、转置）。
矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、特征值和特征向量。
矩阵的初等变换和矩阵的等价。
分块矩阵及其运算。
向量
向量的定义和性质。
向量空间的子空间、基和维数。
向量的线性组合、线性无关性和极大线性无关组。
向量的内积和正交性。
线性方程组
线性方程组的解法，如高斯消元法、克拉默法则。
线性方程组的矩阵表示和矩阵方程。
特征值与特征向量
特征值和特征向量的定义及其性质。
对角化、特征多项式和谱定理。
对称矩阵的对角化。
二次型
二次型的定义和标准化。
二次型的性质和几何意义。
线性变换
线性变换的定义和矩阵表示。
线性变换的性质和特征值、特征向量的计算。
内积空间
内积空间的定义和性质。
正交向量组、正交投影定理和Gram-Schmidt正交化方法。
考试题型可能包括选择题、填空题、解答题（包括证明题）等。
以上内容根据不同的考试体系和要求可能有所差异，具体考试内容以你所在学校或考试机构提供的最新考试大纲为准。