香港留学后留下来工作并申请永居的基本路径如下：
申请研究生
选择香港高校，如香港都会大学、香港珠海学院等，申请授课型研究生课程。
获得录取并办理签证
遵循“先到先得，择优录取”的原则，递交申请后等待录取通知。
审核通过后，获得学校offer并办理学生签证。
赴港激活签证
拿到offer后，赴港激活学生签证，并办理香港居民身份证。
硕士毕业后申请IANG签证
完成1年硕士课程后，可申请IANG签证留港工作。
续签IANG签证
IANG签证的续签模式为“2+3+3”，即首次2年，之后每次续签3年。
续签需要有香港雇主聘请。
满足条件转永居
读书加工作满足7年连续居住条件后，可申请香港永居。
了解行业动态
提前了解目标行业的动态，包括愿意提供工作签证赞助的公司。
建立职业网络
从大一开始关注招聘信息，建立联系网络，积累实习经验。
提升个人优势
参与志愿服务、领导项目或学习新技术，以丰富简历并在面试中脱颖而出。
利用资源平台
参与求职讲座、专场招聘会等，利用网络资源如求职交流群获取信息。
以上步骤概述了从申请研究生到最终申请香港永居的基本流程。需要注意的是，这个流程可能会随着政策的变化而有所调整，所以建议关注最新的政策和申请要求