晚清时期之所以有留学生，主要原因可以归纳为以下几点：
洋务运动的推动
洋务运动是清朝末期的一项重要改革运动，旨在学习西方的科学技术以自强。在这一背景下，清政府认为派遣留学生是学习西方先进技术的有效途径。例如，李鸿章曾奏准选派120名幼童分批赴美留学，以期培养高质量西学人才。
社会大环境的影响
从鸦片战争开始，清政府一直受到列强的欺辱。为了自欺欺人并学习西方的先进技术，清政府开始派遣留学生出国。此外，面对列强的入侵和国内的危机，各阶层人士都在探讨救国的道路，留学成为了一种重要的选择。
培养外交人才和加强沟通
1840年后，清政府与列强的沟通不断，但每次战败后屈辱的谈判都使清政府深感语言沟通的重要性。为了培养外交人才和加强与列强的沟通，派遣留学生出国成为了一项紧迫的任务。
废除科举政策的影响
19世纪末期，清政府废除了科举制度，这使得许多知识分子失去了传统的晋升途径。留学成为他们寻求新出路的重要选择，并形成了一股留学热潮。
列强的政策调整
1896年，美国政府决定用庚款资助中国留学生，这一政策吸引了大量中国学生前往美国留学。同时，由于日本在明治维新后迅速崛起，且留学日本相对容易，很多中国学生选择留学日本。
政府政策导向的转移
清末新政期间，政府开始积极倡导留学，并出台了一系列政策鼓励学生出国学习。这些政策不仅推动了留学热潮的形成，也为留学生提供了更多的支持和便利。
综上所述，晚清时期留学生数量之所以大幅增加，主要是由于洋务运动的推动、社会大环境的影响、培养外交人才和加强沟通的需求、废除科举政策的影响、列强的政策调整以及政府政策导向的转移等多方面原因共同作用的结果。