清朝时期，外国允许中国留学生前往学习的原因主要包括以下几点：
利益考量
西方国家希望通过接受中国留学生，培养他们在中国的亲西方势力，从而在未来的政治、经济和文化领域中获得更大的影响力。
西方资本主义社会更看重利益，只要有人支付学费，学校就会接受留学生，因为这直接关系到学校的经济利益。
文化输出与意识形态殖民
西方国家希望通过教育和文化交流，传播其价值观和意识形态，影响中国留学生，使他们回国后能够传播西方文化，改变中国的传统观念。
西方列强认为，通过影响中国的精英分子，可以在不直接统治中国的情况下，实现对中国的间接控制。
培养亲西方势力
西方国家认为，通过培养清朝的亲西方势力，可以在一定程度上阻止中国的民族主义和反侵略情绪，从而维护其在中国的利益。
西方列强意识到，通过支持中国的留学生，可以“以华制华”，即用中国人来管理中国人，达到比直接统治更加有效的控制方式。
国际政治策略
西方列强支持中国留学生，部分原因是为了在与中国进行政治博弈时，获得中国内部改革派的支持，从而在外交上获得优势。
在一定程度上，西方列强认为，通过支持中国的教育改革，可以促进中国的现代化进程，长远来看，这有利于西方列强的全球利益。
综上所述，西方列强允许中国留学生前往学习，是基于多方面的利益考量，包括经济利益、文化战略、政治策略等。这一政策既有利于西方国家在中国的长远利益，也反映了当时国际政治与文化交流的复杂性