宋祖儿选择出国留学的原因主要有以下几点：
对外国文化的浓厚兴趣：
宋祖儿对国外文化有浓厚的兴趣，特别是通过观看美剧如《暮光之城》，对美国生活产生了深深的向往。
追求更广阔的世界：
她希望见识更广阔的世界，通过留学来拓宽自己的视野。
解决偏科问题：
宋祖儿在初中时数学成绩不佳，她希望换一个学习环境来提升自己的数学能力，因此决定出国留学。
独立和成熟：
留学经历让她变得更懂事，锻炼了她的独立性和与人交往的能力，也让她更能为了梦想吃苦努力。
家庭支持：
虽然最初家人并不赞成，但在她的坚持和努力下，家人最终同意并支持她的留学计划。
自我挑战：
宋祖儿没有依靠留学中介，而是通过自己查资料、咨询朋友，以一己之力申请到了学校，体现了她的自我挑战精神。
综上所述，宋祖儿出国留学是因为她对外国文化有浓厚兴趣，希望追求更广阔的世界，解决偏科问题，锻炼独立能力，得到家庭支持，并通过自我挑战实现了留学梦想。