留学生组织的管理通常由以下部门和机构负责：
1. 教育部：作为国家公派留学的主要主管机关，教育部负责制定国家公派留学政策以及相关项目的组织和管理工作。
2. 国家留学基金管理委员会（CSC）：这是直属于教育部的非盈利性事业法人单位，负责国家公派留学工作的具体实施。
3. 高等学校：对于外国留学生，高等学校应当配合有关行政部门，做好外国留学生的社会管理工作。
4. 公安部和国家工商管理总局：对于留学中介这类机构，由这些部门进行审批和管理。
5. 其他相关部门：可能包括人事教育局等，根据具体情况参与公派留学的管理和服务工作。
以上信息基于最近更新的参考资料，具体的管理细节可能因地区和具体情况而异。如果您需要更详细的信息，请告诉我，我会尽力提供帮助