华罗庚的出国留学经历可以概括如下：
留学背景：
华罗庚在1934年开始兼任中华文化教育基金会董事会的乙种研究员，并在清华大学工作期间，发表了多篇数论方面的论文。
留学经历：
1936年，华罗庚被推荐到英国剑桥大学留学，最初是以“访问学者”的身份，而非直接攻读博士学位。
学术成就：
在剑桥期间，华罗庚虽未获得博士学位，但出色地解决了一些著名的数学难题，如华林问题和塔内问题。
回国贡献：
1938年，华罗庚放弃了在英国的教职，毅然回国，在西南联大数学系任教，展现了他的爱国情怀。
再次出国：
抗战胜利后，华罗庚得到了去美国讲学的机会，并被伊利诺斯大学聘为终身教授。
回国呼吁：
新中国成立后，华罗庚积极呼吁全美留学生回国，1949年，他放弃在美国的优裕生活，携全家返回祖国。
华罗庚的留学经历不仅是他个人学术生涯的重要组成部分，也体现了他深厚的爱国情怀和对祖国数学事业的巨大贡献